Este libro se originó en un intento de condensar en un solo lugar una gran cantidad de ideas, conceptos y herramientas matemáticas que son fundamentales para la comprensión y el trabajo diario de un físico actual. Suele ocurrir que si un problema se formula a partir de una necesidad de origen físico, como la descripción de un fenómeno natural, entonces es bien formulada, en el sentido de que existe una solución razonable. En general, esta regla ha tenido mucho éxito y ha servido notablemente como guía para muchos matemáticos en la navegación por áreas desconocidas.
También ayudó a muchos físicos a trabajar sin preocuparse demasiado por los aspectos formales, ya fueran analíticos, algebraicos o geométricos, y así poder concentrarse en los aspectos físicos y/o computacionales.
Si bien esto permite un rápido desarrollo de ciertas investigaciones, finalmente se llega a un estancamiento, ya que así se evita tropezar con problemas muy ricos en términos de conceptualización del fenómeno a describir. Es importante verificar que el problema formulado tenga una solución matemática y físicamente correcta.
Contento:
- conceptos básicos de topología
- Introducción
- Conceptos de derivados
- mapas continuos
- compacidad
- Álgebra lineal
- espacios vectoriales
- Covectores y Tensores
- complejización
- espacios de cociente
- Reglas
- Normas inducidas V⋆
- Teoría del operador lineal
- Representación matricial
- subespacios invariantes
- forma canónica jordana
- Informe de similitud
- operadores adjuntos
- operadores de unidades
- problemas
- espacios vectoriales
- Geometría
- variedades
- Funciones derivables en M
- curvas M
- vectores
- Campos vectoriales y tensoriales
- El apoyo de las mentiras
- Difeomorfismos y teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias
- Campos covectoriales y tensoriales
- la métrica
- notación de índice abstracto
- derivada covariante
- Ecuaciones diferenciales ordinarias
- El caso de una sola ecuación ordinaria de primer orden
- Ecuación autónoma de primer orden
- Extensión de solución local
- El caso no autónomo
- Reducción a sistemas de primer orden
- sistemas ODE
- integral primero
- Teorema fundamental de los sistemas ODE
- Dependencia de parámetros, ecuación de variaciones
- problemas
- El caso de una sola ecuación ordinaria de primer orden
- Sistemas lineales
- sistema lineal homogéneo
- Sistema Lineal No Homogéneo – Variación de constantes
- Sistemas lineales homogéneos: coeficientes constantes
- problemas
- Estabilidad
- problemas
- Demostración del teorema fundamental
- Elementos básicos del análisis funcional
- Rellena un espacio rayado
- * Integral de Lebesgue
- Espacios de Hilbert
- . Series de Fourier.
- problemas
- Problemas de la serie de Fourier
- distribuciones
- La derivada de una distribución
- Nota sobre la completitud de D y su dual D’
- Convergencia y baja compacidad
- Transformada de Fourier 1
- *Propiedades básicas de los espacios de Sobolev
- Teoría de ecuaciones diferenciales parciales
- La ecuación de primer orden
- Problema de Cauchy
- Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales
- ecuaciones elípticas
- Ecuación de Laplace
- Existencia
- * Regularidad de Soluciones
- teorema espectral
- Ecuaciones simétricas-hiperbólicas
- Un ejemplo
- Desigualdad de energía para sistemas hiperbólicos simétricos
- singularidad de las soluciones
- dominio de dependencia
- Construcción de una superficie característica
- Dominio de dependencia, ejemplos
- ecuaciones parabólicas
- Unicidad y Teorema del Máximo
- grupos
- isomorfismos
- subgrupos
- la construccion universal
- grupos lineales
- El grupo SO(3).
- cosets
- espacios homogéneos
- subgrupos normales
- preguntas del examen teorico
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Autor: Óscar A. Reula
Métodos matemáticos de la física – 1ª edición – Ed. Universidad Nacional de Córdoba (2012)
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